新题型之数学运算――中国剩余定理

    内容精讲
　
    我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,三个三个地数余二个,五个五个地数余三个,七个七个地数余二个,问这批物品最少有多少个。″这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。国际上称之为“中国剩余定理”。
　　
    为了解决这个问题,明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
　　
    三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,
　　
    七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。
　　
    歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去l05的倍数,就得到答案了。即:
70×2＋21×3＋15×2一105×2＝23。
　 
    【例题】有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,这个年级至少有多少人7
　　解析:题中9、7、5三个数两两互质。
　　则〔7,5〕＝35〔9,5〕＝45;〔9,7〕＝63〔9,7,5〕＝315。
　　为了使35被9除余1,用35×8＝280;
　　使45被7除余1,用45×5＝225,
　　使63被5除余1,用63×2＝126。
　　然后,280×5＋225×l＋l26×2＝1877,
所以,l877一315×5＝302,就是所求的数。

    试题精选
　
    1.一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?(  )
　　A.45B.34
　　C.36D.40
　
    2.一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?(  )
　　A.55B.54
　　C.53D.21
　　
    3.一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。(  )
　　A.145B.l00
　　C.299D.l85
　　
    4.有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?(  )
　　A.345B.334
　　C.336D.302
　　
    5.有一个年级的同学,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,问这个年级至少有多少人?(  )
　　A.303B.304
　　C.306D.340
　　
    6.有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?(  )
　　A.2B.3
　　C.4D.5
　　
    7.一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数。(  )
    A.21B.22
    C.23D.24

参考答案解析

1.B【解析】题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4,5〕＝20;〔3,5〕=15〔3,4〕=12;〔3,4,5〕＝60。
为了使20被3除余1,用20×2＝40;
使l5被4除余1,用l5×3＝45;
使12被5除余1,用l2×3＝36。
然后,40×1＋45×2＋36×4＝274,
因为,274＞60,所以,274一60×4＝34,就是所求的数。故选B。

2.C【解析】题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7,8〕＝56〔3,8〕＝24;〔3,7〕＝21;〔3,7,8〕＝168.
为了使56被3除余1,用56×2＝112;
使24被7除余1,用24×5＝120;
使21被8除余1,用21×5＝105;
然后,ll2×2＋l20×4＋105×5＝1229,
因为,1229＞168,所以,1229一l68×7＝53,就是所求的数。故选C。

3.C【解析】题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8,11〕＝88;〔5,11〕＝55〔5,8〕＝40;〔5，8,ll〕＝440.
为了使88被5除余1,用88×2＝176;
使55被8除余1,用55×7＝385;
使40被11除余1,用40×8＝320。
然后,l76×4＋385×3十320×2＝2499,
因为,2499＞440,所以,2499一440×5＝299,就是所求的数。故选C。

4.D【解析】题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕＝35;〔9,5〕＝45;〔9,7〕＝63〔9,7,5〕＝315。
为了使35被9除余1,用35×8＝280;
使45被7除余1,用45×5＝225;
使63被5除余1,用63×2＝126。
然后,280×5＋225×l＋l26×2＝1877,
因为,1877＞315,所以,1877一315×5＝302,就是所求的数。故选D。

5.A【解析】题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕＝35;〔9,5〕＝45;〔9,7〕＝63;〔9,7,5〕＝315。
为了使35被9除余1,用35×8＝280;
使45被7除余1,用45×5＝225;
使63被5除余1,用63×2＝126。
然后,280×6＋225×2＋l26×3＝2508,
因为,2508＞315,所以,2508一315×7＝303,就是所求的数。故选A。
　　
6.D【解析】除以3余2的数有:2,5,8,11,14,17,20,23…。它们除以12的余数是：2，5，8，11,2,5,8,11,…。除以4余1的数有:1,5,9,l3,17,21,25,29,…。它们除以12的余数是:1,5,9，1，5，9，…。
　一个数除以12的余数是唯—的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5。故选D。

7.C【解析】先列出除以3余2的数:2，5,8,11,14,17,20, 23，26，…,再列出除以5余3的数:3,8,13,18,23,28，…
这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15。两个条件合并成一个就是8＋l5×整数,列出这一串数是8,23,38,…,再列出除以7余2的数2,9,l6,23,30,…,就得出符合题目条件的最小数是23。故选C.